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tookunn’s diary

主に競技プログラミング関係

AtCoderBeginnerContest 021 D 多重ループ

問題

abc021.contest.atcoder.jp

過去問埋めで久々のABC D問題の自力AC

考察

1 \le a_1 \le a_2 \le ... \le a_k \le nという性質から,a_1,a_2,a_3,a_4...,a_k内の複数のa_iの間で重複した値が許されるということが分かる。

これは結局,1\sim nまでの範囲の数値からk個の数値を重複を許し,取り出すことと同じ。

例えば,1\sim100までの範囲の数値から4個の数値を重複を許し,取り出すことを考えると

(78,20,9,57)という風な整数の組を取り出すことができ,整数の組中の数値を昇順ソートすると(9,20,57,78)となり問題文の条件(1 \le a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le n)を満たす。

(22,65,22,12)のように重複する値が入っていても(12,22,22,65)になり,これも条件を満たすことになる。


以上の事と整数の組(a_1,a_2,a_3,a_4,...,a_k)の個数と解が等しいというところから重複組み合わせ_nH_k = _{n+k-1}C_kを求めれば解が求まることが分かる。

ソースコード

import java.io.IOException;
import java.io.InputStream;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.NoSuchElementException;

public class Main {
	static final int MOD = (int)1e9 + 7;
	int N,K;

	public long modPow(long x,long y){

		if(y == 0){
			return 1;
		}
		else if(y == 1){
			return x;
		}
		else if(y % 2 == 0){
			long z = modPow(x,y / 2);
			return z * z % MOD;
		}else{
			return (modPow(x,y - 1) * x) % MOD;
		}
	}

	public long nCk(int n,int k)
	{
		long a = 1;
		for(int i = 0;i < k;i++)
		{
			a *=  (n - i);
			a %= MOD;
		}

		long b = 1;
		for(int i = k;i >= 2;i--){
			b *= i;
			b %= MOD;
		}
		return (a * modPow(b,MOD - 2) % MOD) % MOD;
	}

	public void solve() {
		N = nextInt();
		K = nextInt();

		out.println(nCk(N + K - 1,K));
	}

	public static void main(String[] args) {
		out.flush();
		new Main().solve();
		out.close();
	}

	/* Input */
	private static final InputStream in = System.in;
	private static final PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
	private final byte[] buffer = new byte[2048];
	private int p = 0;
	private int buflen = 0;

	private boolean hasNextByte() {
		if (p < buflen)
			return true;
		p = 0;
		try {
			buflen = in.read(buffer);
		} catch (IOException e) {
			e.printStackTrace();
		}
		if (buflen <= 0)
			return false;
		return true;
	}

	public boolean hasNext() {
		while (hasNextByte() && !isPrint(buffer[p])) {
			p++;
		}
		return hasNextByte();
	}

	private boolean isPrint(int ch) {
		if (ch >= '!' && ch <= '~')
			return true;
		return false;
	}

	private int nextByte() {
		if (!hasNextByte())
			return -1;
		return buffer[p++];
	}

	public String next() {
		if (!hasNext())
			throw new NoSuchElementException();
		StringBuilder sb = new StringBuilder();
		int b = -1;
		while (isPrint((b = nextByte()))) {
			sb.appendCodePoint(b);
		}
		return sb.toString();
	}

	public int nextInt() {
		return Integer.parseInt(next());
	}

	public long nextLong() {
		return Long.parseLong(next());
	}

	public double nextDouble() {
		return Double.parseDouble(next());
	}
}